Esercitazione 1 aprile 2004

Legge dei grandi numeri

Si consideri il seguente esperimento: si lancia una biglia in una scatola a base quadrata con disegnato sul fondo un cerchio inscritto nella base stessa.

quadrato con cerchio inscritto

La variabile aleatoria X vale 1 se la biglia rimane all'interno del cerchio, 0 altrimenti.

Di che tipo è la variabile aleatoria X? X è una bernuolliana.

Quanto vale la probabilità P(X = 1)? Fatti due conti, p = P(X = 1) = π/4.

Poiché E(X) = p, possiamo immaginare di stimare il valore di π utilizzando la media campionaria (moltiplicandola per 4).

La funzione mc_pi calcola questo valore.

Esempio: mc_pi(100) calcola il valore di π usando un campione di dimensione 100.

È evidente che maggiore sarà il numero di campioni, tanto più preciso sarà il valore di π stimato.

Sapendo che la varianza di X è σX2=var(X) = p(1-p) = π(4-π)/16, la legge dei grandi numeri ci permette di fissare il numero di campioni necessari per raggiungere la stima di π con una data precisione, con una data probabilità.

Il teorema dice che se n>=σ2/(ε2δ), allora P(|m-μ|<ε)>= 1-δ, dove m è la media campionaria su n campioni.

Esempio: se vogliamo stimare π essendo sicuri al 95% (probabilità dello 0.95) che le prime due cifre decimali siano corrette (precisione dello 0.01), dobbiamo usare un campione di dimensione almeno di circa n=540000 (5.3935e+05).
Per arrivare a tale valore, consideriamo m il valore della media campionaria. Le specifiche del problema richiedono che 4m (la stima di π) si scosti da π per meno di 0.01: |4m-π| < 0.01. Tale condizione รจ equivalente a: |m-π/4| < 0.01/4 = 0.0025.
Quindi, ε = 0.0025.
La probabilità del 95% significa che 1-δ = 0.95, e quindi: δ = 0.05.
Da ciò: n>= π(4-π)/16/(0.00252 0.05) = 5.3935e+05.

Il programma num_camp_mc_pi calcola il numero di campioni necessari, data una precisione e una probabilità.

Esercizio (per i più volenterosi)

Regressione