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#### PRACTICAL 3 - probability distributions : GAUSSIAN
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Learning
objectives:	Statistics:			Computer science:
		- Distributions			- functions
		- Gaussian			

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### Exercise 0 : plot of a distribution ################################
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#       STRUCTURE
#
# 1.	parameters definition
# 2.	function definition,	standard form:  functname <- function(x){ code }
# 3. 	plot of a single gaussian (with Mu=0 and Sigme=1)
# 4.	plot of multiple gaussian distributions


# parameters definition (1) ###########################################
# NB: GLOBAL variables that are used INSIDE the function f1, so that you
#     can update these variables and get different results from different 
#     function calls

Mu <- 0
Sigma <- 1

# function definition (2) #############################################
f1 <- function(x){  (1 / (Sigma*(sqrt(2*pi))) ) * exp( (-1/2)*( (x-Mu)/Sigma )^2) }

# plot of a single gaussian (with Mu=0 and Sigme=1)     (3)    ########
plot(f1, xlim=c(-3,3), ylim=c(0,1))
abline(v=0)	# this is to plot a single vertical line 
# NB: don't close this plot ... we will need it in 4


# plot of multiple gaussian distributions    (4)  #####################
sigmas <- c(0.5, 2, 4)
mus <- c(-0.5, 0, 0.5)

for (Sigma in sigmas){
	for (Mu in mus){
		plot(f1, -3, 3, add=TRUE)
	}
}




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### Exercise 1 : Integral computation with x in fixed range and Sigma in
### a set of values
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#	STRUCTURE
#
# 1. Range definition (in the form [Mu-q, Mu+q]
# 2. Gaussian parameters setting
# 3. Computation of P(x) in [Mu-q, Mu+q]

# Range definition (in the form [Mu-q, Mu+q]              (1) #########
q <- 1

# Gaussian parameters setting (fixed Mu and the sigmas set (2) ########         
Mu <- 0
sigmas <- c(0.5, 2, 4)

# Computation of P(x) in [Mu-q, Mu+q] for different Sigma values (3) ##
for (Sigma in sigmas){

	Ttmpstr <- paste( "P(x) from ", Mu-q , " to ", Mu+q , " with Sigma=", Sigma, " is: ",  ( integrate(f1, lower=(Mu-q), upper=(Mu+q)) )$value , sep='')
	print(  tmpstr  )	
}




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### Exercise 2 : P(x) computation in ranges
#		[Mu - Sigma , Mu + Sigma]
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#	STRUCTURE
#
# 0. Set the value of Mu (constant),  then set the value of Sigma (  1  )
# 1. Range definition (in the form [Mu-q, Mu+q] : Set the value of q to Sigma, 2*Sigma, 3*Sigma 
# 3. Computation of P(x) in [Mu-q, Mu+q]

# 1. ##################################################################
Mu <- 0
Sigma <- 1

# 2  ##################################################################
q <- Sigma

# 3  ##################################################################
integrate(f1, lower=(Mu-q), upper=(Mu+q))

##### NOW REPEAT AFTER THE UPDATE OF THE q VARIABLE :

q <- 2 * Sigma
integrate(f1, lower=(Mu-q), upper=(Mu+q))

q <- 3 * Sigma
integrate(f1, lower=(Mu-q), upper=(Mu+q))

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# You can now change the value of Sigma and then repeat points 2 and 3
# (in point 3 you should check for each value of q in Sigma, 2*Sigma and
# 3*Sigma )


###### SPECIAL VALUES ################################################

q <- 1.96
integrate(f1, lower=(Mu-q), upper=(Mu+q))