Programma del corso di Calcolo delle Probabilità e statistica Matematica

A Legame tra conoscenza e aleatorietà

1.Proprietà corrette su insiemi di dati incerti:

Insiemi di simmetria e algebra degli eventi

2. Misure di probabilità:

Misure combinatorie di probabilità, assiomi di Kolmogorov sulla probabilità, utilizzo di conoscenze acquisite per costruire modelli probabilistici.

3. Elementi di calcolo combinatorio:

Conteggio delle possibili configurazioni di n elementi su k posti. Modelli probabilistici di campionamento.

4. Variabili aleatorie:

Definizioni di base. Funzioni standard per descrivere variabili aleatorie. Funzione di Probabilità, densità di probabilità, funzione cumulativa di distribuzione. Proprietà costanti in una sequenza di specificazioni di una variabile aleatoria. Media, varianza, momenti di una variabile. Algebra dei valori attesi.

5. Da uno a più bit per definire una variabile.

Probabilità condizionate; teorema di Bayes. Dipendenza stocastica. Oltre l’esperimento di Bernoulli: eventi rari (modello di Poisson), eventi affollati (modello Gaussiano).

6. Aggregati di  variabili aleatorie

Vettori di  variabili aleatorie, leggi di distribuzione congiunte, condizionate e marginali. Valore atteso su più variabili. Momenti misti. Variabile Gaussiana multidimensionale.

7. Funzioni di variabili aleatorie.

Derivazione delle loro leggi di probabilità. Il meccanismo di campionamento. Generazione di variabili aleatorie.

8. Teoremi limiti. Disuguaglianza di Thecbichev, legge dei grandi numeri; teorema del limite centrale. Somme di variabli aleatorie indipendenti e loro approssimazione Gaussiana.

B. Inferenza statistica

1 L’approccio predittivo:

Una stringa di bit partizionata da un cursoere. L’argomento di scambio. Leggi di distribuzione dei parametri. Perni e statistiche sufficienti. Proprietà delle statistiche sufficienti. Statistiche sufficienti minimali. Statistiche sufficienti congiunte. La famiglia di distribuzione esponenziale monoparamterica e quella multiparametrica.  Il lemma di fattorizzazione.

2. Intervalli di confidenza:

Definizioni di base. Risoluzione di problemi inversi per trovare  gli estremi di un intervallo. Quantità pivotali. Simulazione di leggi di distribuzione dei parametri.

Valutazione dell’adeguatezza della teglia del campione. Studio degli intervalli di confidenza per i parametri di particolari leggi di distribuzione.

3. Stimatori puntuali:

Minimizzazione di: errore quadratico (stimatori non deviati), entropia relativa (stimatori di masima verosimiglianza). Ricerca degli stimatori: metodo dei momenti, metodo della massima verosimiglianza, metodo del plug-in. Scambio della minimizzazione sulla popolazione con la minimizzazione sul campione (stimatori debolmente non deviati, stimatori consistenti).

4. Test di ipotesi:

Schemi elementari.

Consulata la pagina  web del laboratorio reti neurali
LAREN(http://laren.dsi.unimi.it/apolloni/)
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